二進位與像素圖案
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依照「臺北市資訊科技課程教學綱要」的規定，低年級應實施不插電運算思維課程共 12 節課，本校安排於二年級上學期實施「二進位與像素圖案」單元共 4 節課。
此單元教學活動不會用到電腦，因此本網頁不是必備的，僅提供給老師參考。
請準備以下教具：
二進位撲克牌每人 5 張，正面黏貼圓點，數量分別為 1、2、4、8、16。老師需使用放大版約 A4 大小的紙張取代撲克牌，圓點也必須放大。
二進位與十進位數字對照表一份，B4 或對開大小。請列印學生使用的 A4 版本一人一份。
猜數字魔術卡放大版，B4 大小，內容請參考網頁。學生使用的空白魔術卡片一人一份，卡片上為 4x4 空白表格，需要五張，可以列印在一張 A4 紙張然後剪開。
像素圖案需要使用到方格紙，一個學生一張。
雙面軟磁鐵，一面黑一面白，裁剪為 8 公分見方，共 36 個。
如果不想花時間準備撲克牌，可以用網頁版的，但是必須到電腦教室上課。
本單元學生將學會：
樣式比對：能透過翻牌練習，找出二進位的規律。
樣式比對：能利用二進位與十進位對照表，製作猜數字魔術的道具卡片。
抽象化：能用二進位表徵像素圖案。
演算法：能將像素圖案表徵為向量式編碼、變動長度壓縮編碼。
資料來源
課程內容取材自「不插電的資訊科學」一書，請點擊連結下載全文！
單元一：二進位與像素圖案
什麼是二進位？
大多數的人類都擁有十個指頭，因此當需要計算數量時，就會自然而然的數著指頭來計算，但要如何計算超過 10 的數字呢？聰明的中國人想到了「位數」這個觀念，把兩個數字疊在一起來表示，如右圖。位數的觀念流傳到西方後，與印度-阿拉伯數字相結合，就成為現在所使用的十進位制。
所謂「十進位」，意思是每數到十就要增加一個位數，稱為「十位」，十個十則稱為「百位」......等等。
小朋友想想看，如果人類像「哆啦A夢」一樣只有手掌沒有手指，那要如何數數呢？
因為有兩隻手，所以最多只能數到 2，那就只能用「二進位」囉！
事實上在「二進位」被發明之前，我們已經在生活中廣泛地使用「二元狀態」來表達各種互相矛盾的觀念。例如：右邊照片上的開關直接使用「1」和「0」來表示「開」和「關」。
但是這種觀念與「二進位」並不完全相同，因為它們還沒有被運用於數學計算。
「二進位」到底與「電腦」有什麼關係呢？
因為電腦是使用「電位」來進行數學計算，可以想成是「通電」、「斷電」（其實也就是開關喔！），利用通電和斷電來控制電壓的變化就可以計算數學了。
給老師的說明
在電晶體（半導體）取代真空管之後，已經不再使用「通路」、「斷路」這樣的二元狀態，改用「高電位」、「低電位」來替代。
二進位的發明（1703年）遠早於電腦（1950年），曾經有一度被認爲是無用的數學。電腦之所以採用「二進位」不採用「十進位」，是因為早期電腦所使用的真空管只能表現「二元狀態」，無法表示「多元狀態」。也因為電腦的發明和採用，二進位才成為顯學。
除了數學計算以外，使用更為廣泛的「邏輯運算單元」（CPU 中的邏輯電路）的設計也是基於「二元狀態」。這也是電腦繼續採用二進位的最主要原因。
你會跟電腦一樣，只使用「0」 和「1」來數數嗎？
請把二進位撲克牌擺放在桌面上，從右邊數過來，第一張放點數最少的 1，第二張是點數第二少的 2 ......第五張則是 16，像下面這樣：
關於排列順序
十進位最右邊是個位，往左邊是十位、百位，這種排列方式稱為「高位優先」（big-endian），這是我們最習慣的方式。
在電腦上為了提高計算效率，會採取「低位優先」（little-endian）的方式排列。這兩種排列方式只是表示法不同，本質上沒有差異。
除了表示法的差異，計算順序也有兩種，中國的珠算是從左算到右，而現代數學則習慣從右算到左。儘管如此，計算結果並不會有不同。
請把所有的撲克牌翻到背面。把右邊第一張和第三張翻開，數數看總共是多少點？
翻開的牌是 1，沒翻開的牌是 0，五張牌的牌面是 00101，所以 00101 = 5
請隨意翻開或蓋上幾張牌，然後把牌面和點數記錄起來，牌面代表二進位數字，點數代表十進位數字。
沒有二進位撲克牌嗎？ 請利用底下的網頁版撲克牌。
請試著按照順序用撲克牌表示 1、2、3、4、5......，並從其中找到規律性，讓數字一直加 1。
有什麼規律性？
從右邊往左邊找到蓋著的牌，將它翻開，如果右邊還有牌，將他們全部蓋上。
例如：3，右邊已經有兩張牌翻開，加 1 時必須翻開第三張牌，然後把右邊兩張牌蓋起來。
又例如：5，右邊三張牌中，第二張是蓋著的，第一張是翻開的，所以加 1 時把第二張牌翻開，然後蓋住第一張牌。
如何表示 0 ？
把所有的牌蓋起來就是 0，00000 = 0
5 張牌最多可以表示多大的數字？
根據實際測試結果為 31。 11111 = 31，用點數來看是 16+8+4+2+1 = 31。
5 張牌總共可以表示幾個數字呢？
31 再加上 0 這個數字，總共 32 個數字。
延伸活動：
老師從 0~31 中隨便挑一個數字，讓學生用二進位表示，看誰最快完成而且正確。
老師在黑板上用撲克牌放大版排出二進位數字，讓學生說出十進位數字，看誰最快最正確？
老師不使用教具，直接用粉筆寫出二進位數字，例如：01101，讓學生說出十進位數字，看誰最快最正確？
第二節課
猜數字魔術
老師把預先製作的魔術卡片張貼在黑板上，排列如下圖：
請學生在心中想一個數字，必須是牌面有出現的數字，然後由老師隨機點一位同學，請他上台把出現該數字的牌一一指出來，然後面向老師直視老師的雙眼，讓老師施展讀心術，讀出同學心中的數字。接著老師就可以大聲說出感應到的數字。
誰想玩這個遊戲呢？請同學上台來挑戰老師的讀心術，比賽看看是同學的眼睛比較會保守秘密，還是老師的讀心術比較厲害！
回想一下上節課的內容，老師為什麼總是能猜中呢？
假設同學心中想的是 24，這個數字出現在左邊的第一張和第二張卡片，如果用 0 表示沒出現， 1 表示有出現，那就是 11000。
請同學把上節課的二進位撲克牌拿出來，排列成 11000，然後把所有點數相加，得到 24。也就是說 11000 = 24
現在仔細觀察魔術卡片的左上角，這個數字是不是與二進位卡片上的點數相同呢？
所以變魔術時，把被指出的卡片左上角數字加起來，16+8 = 24，就得到同學心中的數字了！
利用底下的網頁玩玩看，試著找出讀心術的秘密！
這個魔術的秘密就是二進位。要製作魔術卡片，首先必須先製作「二進位與十進位對照表」，請老師點擊下方的文件建立副本，列印給全班同學，一人一張，副本文件可以線上編輯讓學生可以核對答案。還記得上一節課學會的翻牌技巧嗎？運用這個技巧把對照表完成。
完成對照表後，請將二進位最右邊的格子是 1 的數字挑出來，寫在空白魔術卡片上（如右上文件，請老師事先下載列印好），寫在哪個格子都可以！注意：不要漏掉數字或是重複同一個數字。請檢查卡片上的數字，是不是剛好都是奇數呢？如果不是的話，就是做錯了喔！
第一張魔術卡片完成後，接著挑出二進位右邊數來第二格是 1 的數字，寫在第二張空白魔術卡片上。注意：不要漏掉數字或是重複同一個數字。請比對卡片上的數字，是不是跟對照表上面的一樣呢？如果不是的話，就是做錯了喔！
依序完成剩下的魔術卡片之後，下課時就可以跟同學一起玩喔！
如何讓這個魔術看起來更厲害：
魔術卡片上的數字不要照順序排列，寫亂一點這樣比較不容易看出規律性。（數字要寫工整，不要鬼畫符喔！）
變魔術之前先把魔術卡片交給對方，請對方洗牌！如果對方不會洗牌，那就請對方任意對調順序！
如果對方洗好牌，要把魔術卡片還給你，這個時候就跟他說「我不用碰到卡片也能施展讀心術喔！」請對方把卡片收好。
請對方一張一張看魔術卡片，如果找到自己內心的數字，就把卡片正面展示給你看。趁這個機會把卡片上最小的數字記起來。
看完所有卡片後，把剛剛記住的數字加起來就是答案，但是不要急著告訴對方答案。要先假裝正在感應，但是收不到訊息，請對方再用力集中注意力。「對，繼續，答案快出現了！」。相信公佈答案時，對方一定會嚇一跳！
第三節課
像素圖案
小朋友，你們有看過電腦動畫嗎？你知道電腦是如何顯示圖像的嗎？
舉例來說，要顯示小寫 a，可以在方格紙上把格子塗黑，先把圖案設計出來，如右圖。這樣的圖案稱為「像素圖案」。
要讓電腦產生一樣的圖案，必須寫程式。首先必須告訴電腦，一行有幾格，然後把程式指令轉換成底下的符號來表示：
→：代表向右移動一格，如果右邊已經沒有格子，就移到下一行的最左邊。
x：代表要把格子塗黑。
用這個方法，我們可以把小寫 a，寫成下面的程式：
5→x→x→x→→→→→→x→→x→x→x→x→x→→→→x→x→→→→x→→x→x→x→x
請試著按照上面的指令，把圖案畫在老師發下的方格紙上面，跟隔壁同學比對看看一樣不一樣。
請畫出以下三個像素圖案：(將題目貼在下面網頁的向量表示法中，檢查答案對不對！)
3→x→→x→x→x→→x
4→x→x→→x→→→x→x→→→x→→x→x
5→x→→x→→x→→x→→x→x→→→→x→→x→→x→→→→x
像素圖案繪製完成後，如果要儲存成電腦檔案，有兩種格式可以選擇：
向量式：直接將產生像素的程式碼儲存起來，讀取檔案時只要再執行一次就可以得到相同圖案。
點陣式：將像素圖案轉換成二進位數字後再儲存。
右圖是把小寫 a 圖案，轉換成二進位數字，空格是 0，塗黑的格子是 1。
右邊的像素圖案，是動物園裡最受歡迎的兩隻動物，你能將他們轉換成二進位數字，以便儲存到電腦裡面永久保存嗎？
使用上面介紹的方法儲存電腦圖像，還有一個小問題，就是隨著圖像越來越大，儲存空間就會不夠。如果能有一個方法可以把大的圖案縮小後再儲存，然後讀出來的時候，再由電腦自動放大回原來的樣子，這樣就更完美了。這種方法稱為「壓縮」，就像媽媽把冬天棉被收起來時，會先摺疊壓平再裝到袋子裡一樣！
最簡單的壓縮方法是將相同的資料改用次數表示，稱為「變動長度壓縮法」（run length encoding）
以小寫 a 做例子，第一行由左到右分別是 1 個白，3 個黑，1 個白，寫成「1,3,1」，第二行開始是 4 個白，1 個黑，寫成「4,1」，第三行開始是 1 個白和 4 個黑寫成「1,4」，第四行一開始不是白色，而是黑色，這樣就會跟前面幾行的規則不同，我們希望每一行都是從白開始，因此先加一個 0，表示沒有白色，改由黑色開始，然後是 1 個黑，3 個白，1個黑，寫成「0,1,3,1」，第五行與第四行相同是「0,1,3,1」，最後一行開始是 1 個白，4 個黑，寫成「1,4」。
我們希望一個圖案儲存成一個檔案，而不是一行一行存在不同的檔案裡。所以剛剛的資料要儲存到電腦裡時，會連接在一起變成：1,3,1,4,1,1,4,0,1,3,1,0,1,3,1,1,4
但是變成這樣的話，電腦不知道要還原成 5x6 的圖案。所以還要在資料的最前面加上 5,6，把圖案的大小也記錄起來，完整的資料像這樣：5,6,1,3,1,4,1,1,4,0,1,3,1,0,1,3,1,1,4
延伸活動：
請自己設計一個像素圖案，然後把它變成壓縮格式，交給你隔壁同學！（你可以利用下面的網頁來製作。）
拿到隔壁同學給你的數字串後，你能夠像電腦一樣把圖案還原嗎？
第四節課
同位元檢測
老師把 25 張雙色軟磁鐵貼在黑板上，排列成 5x5 陣列。
請一位同學上台來把任意幾張圖案翻面變成隨機圖案。老師覺得還是不夠亂，於是又補上一行一列變成 6x6 陣列。
接下來是記憶力大考驗，等一下老師閉上雙眼時，請小朋友把其中一張牌翻面，不要讓老師知道是哪一張！
老師根據記憶中的牌形進行比對，找出被偷偷改變的牌。把這張被找出來的牌翻回原來的那一面，再請下一位同學來挑戰！
為什麼老師總是能夠發現哪一張牌被改變呢？
事實上，老師並不是憑著記憶力找到的，而是利用稱為「同位元檢測」的技巧發現的！
我們都知道警察會透過指紋抓犯人，為什麼大家不擔心警察會抓錯人呢？那是因為每個人的指紋都是獨一無二的，沒有人會相同，因此指紋被稱為「個人的生理特徵」。那麼如果資料有「指紋」是不是就能防止任何資料被亂改呢？
很可惜資料是沒有指紋的，不過我們可以用一些方法來觀察特徵，這樣也能起到類似指紋的功能！
先從簡單的例子來說明，如果有一行二進位資料長得像這樣：01001，我們利用奇偶數來找特徵，0 是偶數而 1 是奇數，剛剛的資料有兩個 1，所以是偶數。如果資料被改變成：01101，總共有 3 個 1，所以是奇數，原來的資料是偶數，現在變成奇數，這就證明資料有錯誤！
這個簡單的例子有兩個問題：
如果同時改變兩個數字就不會被發現。
雖然知道有錯誤，但不知道是哪一個出錯。
要解決這些問題就需要更複雜的「抓取特徵」的方法，如果資料超過一行的話，就可以利用不同方向的「同位元檢測」來尋找出錯的位置。
回到我們的魔術表演，黑板上的卡片，白色當成 0，0 是偶數，因此不管有幾個 0 都是偶數，所以白色可以忽略不去檢查。黑色是 1，1 是奇數，會隨著數量變化，例如：2 個就變偶數，3 個就又是奇數，我們必須特別留意黑色的個數。
當同學排完 5x5 的卡片時，老師開始檢查每一行的黑色數量，如果是奇數，就在最右側補上黑色卡片，讓它變成偶數。如果是偶數的話，就補上白色，維持偶數。接下來在每一列的下方也做一樣的檢查和補充。這樣就可以確定整個 6x6 的範圍內，無論是哪一行哪一列都會是偶數。
當同學改動其中一張卡片時，就會有一行變成奇數，也會有一列變成奇數，行列交叉的位置就是被改變的卡片。
如果一次改動兩張卡片，也能夠發現嗎？
如果被改動的卡片剛好不同行也不同列，那麼可以找到 4 張可疑的牌，因為不同行也不同列的兩張牌才會是答案，共有兩種可能，有 1/2 的機會找出正確答案。
如果被改動的卡片同行，只能找出被改動的兩列，如果是同列，則只能找出被改動的兩行。如果是 6x6 的表格，那麼只有 1/6 的機會猜到答案。
如果不是排成正方形，也能用這個方法找到被改變的卡片嗎？
是的，任何形狀只要行數和列數都超過 2 以上都可以使用這個方法。
延伸活動：
在補上最後一列和最後一行是，如果故意補成奇數，也能夠用來尋找被改變的卡片嗎？
你能夠翻動 3 張卡片，而且讓對方無法察覺有錯誤發生嗎？